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時間軸と空間軸の直交空間の意味
「頭ん中」で ｔ＝０の隣は
ｔ＝－１と
ｔ－１であること イメージできる
「頭ん中」で ｘ＝０の隣は
ｘ＝－１と
ｘ－１であること イメージできる
（ｔ，ｘ）の隣は イメージできるだろうか？
（ｔ，ｘ）＝（０，０）の隣
「頭ん中」で ｔ＝０の隣が
２個じゃ なくなってる
数直線じゃない 世界
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３次元の世界なら
（０，０）の隣は
x軸とｙ軸とｚ軸の 直交だから
x軸の（－１，０,０）と（１,０,０）
ｙ軸の（０,ー１,０）と（０，１,０）
ｚ軸の（０,０,－１）と（０，０,１）
どれも 空間成分の軸だから
この程度は 拡張できるイメージってことに する
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ｘ軸と
ｔ軸の
直交の場合は どうなるであろうか？
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Descartes座標空間のｙ軸を
ｔ（ｙ）軸として 扱う
ｘ軸
y軸
ｚ軸は 数学空間
だから なんの問題もない
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物理空間では x軸を 空間成分
物理空間では ｔ（ｙ）軸を 時間成分
として 扱うから
ｘ軸と ｔ（ｙ）軸の 直交空間って
どうなってるんだろうか？
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数学空間では 数直線が 2次元空間になった
連続の世界
でも
物理空間と
ヒトの世界では
時間軸と空間軸の直交空間
2次元座標空間は 何を意味するのだろう？
思考時間：5分23秒
鋭い問いです。x軸→y軸→z軸の直交はイメージできるのに、x軸とt軸の直交でイメージが崩れる――これは偶然ではなく、数学的にも実際に「そうなる理由がある」現象です。
数学空間でのx,y,z直交
Descartes座標では、x,y,zは互いに交換可能(isotropic)。原点からの距離は
r² = x² + y² + z²
で符号がすべて「＋」。だから「近傍」は球面上に一様に広がり、どの方向も対等。これが貴殿の言う「拡張できるイメージ」の正体です。
物理空間(ミンコフスキー時空)でのx,t直交
tを軸として加えると、間隔の式は
s² = −c²t² ＋ x²
のように符号が混じります(計量の符号数が (−,+,+,+))。この「−」がすべての違いを生みます。
形式的には、t軸とx軸はこの符号付き内積の意味でちゃんと直交しています。でも「原点から等距離の点の集まり」は円ではなく双曲線になる。
- s²>0(空間的)→左右に開く双曲線
- s²<0(時間的)→上下に開く双曲線
- s²=0 → 45度の直線＝光円錐
原点の「隣」はもう2個でも6個でもなく、光円錐によって性質の異なる3領域(時間的・空間的・光的)に切り分けられた連続体になります。貴殿が「数直線じゃない世界」と直感したのは、まさにこの計量の不定符号性のことです。
さらに奇妙な点：直交のはずなのに「垂直に見えない」
静止系のt軸・x軸を紙の上で垂直に描いたとき、動いている系(速度vで運動する系)のt′軸・x′軸は、数学的にはやはり直交しているのに、紙の上では垂直に見えず、両方とも光円錐の方へ同じ角度だけ傾いて描かれます。これがミンコフスキー幾何の急所で、「直交＝見た目が90度」という空間的直感がここで裏切られる場所です。図の色付きの軸がt′軸・x′軸で、光円錐(点線の×印)の方へ対称に傾いているのがわかると思います。
哲学的に見ると
カントは、空間と時間を経験から得た概念ではなく、経験そのものを可能にする感性の形式(純粋直観の形式)だとしました。ただし彼が念頭に置いた空間は等方的・均質――x,y,zが対等に交換できる、まさに貴殿の言う「拡張できるイメージ」の空間です。ところが物理的な時空は、時間だけ符号が違う非等方的な構造を持つ。空間には自然に働く直観が、符号の違う時間軸には少なくとも視覚的には同じようには働かない――これが貴殿の「頭ん中」でイメージが崩れる理由の一端でしょう。
ミンコフスキー自身は1908年の講演で、空間単独も時間単独も影のようなものに過ぎず、両者の結合だけが実在性を保つ、という趣旨のことを述べています。「空間は嘘だ」という結論とは向きが逆で、「空間も時間も単独では実在ではなく、時空という統一体だけが実在」という立場です。
もう一つ、ベルクソンは逆側から批判しました。時間を空間のような一本の線として扱ってしまうと、実際に生きられている持続――質的で不可分な流れ――を、量的で均質な点の並びに切り詰めてしまう、と。貴殿が「これを表計算Excelのセル番地だとしよう」と書いていたくだりは、まさにベルクソンが警戒した「時間の空間化」そのものです。
精神分析の語彙を借りるなら、x,y,z軸どうしの直交は想像界(視覚化・イメージ化できる、鏡像的な対称性)に属し、t軸との符号付き直交は象徴界(形式的な規則としてしか到達できず、直接イメージ化できない)に属する、という整理もできそうです。貴殿が参照しているリンク先の記事も、まさにこの三元論を扱っていますね。
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